Thèse Année : 2024

Structural and geometrical properties of highly symmetric graphs

Propriétés structurelles et géométriques des graphes fortement symétriques

Résumé

Many statements in combinatorics or group theory have the following form: ``if $X$ is a combinatorial object satisfying a property $(P)$, then $X$ has the following structure: ...''. Amongst them, one can think about Robertson-Seymour Structure Theorem in graph theory, which explicitly describes the structure of graphs excluding a fixed minor, or about Maschke's planarity theorem, which establishes the complete list of the finite planar Cayley graphs. In this thesis, I expose a number of results of this type whenever one focuses on objects $X$ which are highly symmetric.More precisely, I focus in Chapter 1 on locally finite graphs that are quasi-transitive, i.e., that admit, up to applying an automorphism only finitely many types of vertices. The class of quasi-transitive graphs is not only interesting because it contains the rich class of Cayley graphs, but also because it allows to lose the rigidity present in algebraic structures, and thus one can relax and adapt many reasonnings. Quasi-transitive graphs behave particularly well with emph{canonical tree-decompositions}, a useful tool allowing to decompose in a unique way a given graph into simpler pieces in a tree-like fashion.Chapter 2 is devoted to the study of some specific classes of finitely generated groups. I introduce concepts and questions from the field of symbolic dynamics of groups, and try to establish some connections with the notions and results studied in Chapter 1.
De nombreux énoncés mathématiques (dits "structurels") prennent la forment suivante: si un objet combinatoire X satisfait une propriété (P), alors X doit ressembler à (...)", où (...) consiste souvent en une description structurelle précise. On pensera notamment au Théorème de Structure de Robertson-Seymour en théorie des graphes, qui décrit explicitement la structure des graphes qui excluent un mineur fixé, ou encore au Théorème de planarité de Maschke, qui dresse la liste exhaustive des graphes de Cayley finis planaires. Cette thèse présente divers énoncés structurels similaires, obtenus en ajoutant l'hypothèse que l'objet étudié X possède de nombreuses symétries.Le premier chapitre s'intéresse à l'étude des graphes localement finis "quasi-transitifs", c'est à dire des graphes admettant seulement un nombre fini de types de sommets différents, à application d'un automorphisme près. Cette classe de graphes s'avère être non seulement intéressante puisque généralise la classe extrêmement riche des "graphes de Cayley", mais également car la propriété de quasi-transitivité nous autorise à relâcher les contraintes souvent présentes dans des preuves à cause des structures algébriques, permettant ainsi des raisonnements plus libres et plus généraux que ceux imposés par des conditions plus fortes. En particulier, nous verrons que les "décompositions arborescentes canoniques" s'avèrent être un outil particulièrement pertinent dans l'étude de la structure des graphes quasi-transitifs. Le second chapitre est dédié à l'étude de certains classes spécifiques de groupes finiment générés. Nous y introduirons plusieurs concepts provenant du domaine de la dynamique symbolique des groupes, et tenterons d'établir de nombreuses connections avec les notions et résultats introduits dans le premier chapitre.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04950858 , version 1 (17-02-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04950858 , version 1

Citer

Ugo Giocanti. Structural and geometrical properties of highly symmetric graphs. Algebraic Topology [math.AT]. Université Grenoble Alpes [2020-..], 2024. English. ⟨NNT : 2024GRALM028⟩. ⟨tel-04950858⟩
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